浅谈波利亚的数学教育思想

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浅谈波利亚的数学教育思想

作者：张茹

作品编号：022

投稿时间：2019.7.28

波利亚对数学教育有着自己独到的见解，对于今天的数学教学困境，我们有必要再次回顾波利亚的数学教育思想，从中获得有益的借鉴。

作者认为要想更好地理解波利亚的数学教育思想，首先得清楚把握他的数学哲学思想，波利亚本人是如何看待数学的？他的数学观有何独特之处？薛迪群在《乔治.波利亚数学哲学思想浅探》一文中，深入探讨了波利亚在数学本体论、方法论以及认识论上与前人的不同之处。本体论方面，他强调数学源于并应用于客观现实和社会，强调了客观世界是数学生存和发展的基础；方法论方面，他强调数学研究不仅需要论证推理，也需要合情推理；而认识论方面则是波利亚数学哲学思想的精华部分，给予后人很大的启发性。

他的数学教育宗旨是教会思考、培养创造精神、倡导“探索性”，如何教会思考以及培养创造精神，又如何进行探索性教学以及这些宗旨为何能够得以实现。这些都是源于他的数学教育思想中的哲学认识论基础：其一，数学具有两重性；其二，生物发生律在数学教育中同样适用。也就是说人类后代学习数学和前代认识数学的历史是相似的，具体而言，这种生物发生律可以在课程设计或教学时决定所教的内容和理论，可以预见用什么样的先后顺序和适当方法来讲授这些内容。（详见《一生的解题者—波利亚数学教育思想解读》，马文静）

作者认为，正是波利亚的教育宗旨决定了他的数学教育思想。他认为数学教育要教会学生思考，那么数学中所谓的思考是什么？怎样教会思考？通过什么来教会思考？这一系列的问题可在他的解题思想中得到答案；他也认为数学教育应该培养学生的创造精神，而一直以来人们对于数学是演绎科学的认识束缚着创造精神，它使得人们相信数学学习必须按照严格的演绎推论进行，不得有任何差池。但波利亚认为这种想法是偏颇的，原因在于人们只认识到数学这门学科的独特性，而忽略了它与其它学科的共性。波利亚以数学发展史上丰富的数学教学研究案例、数学名家的教学思想和数学思维方法，并结合他本人从事数学研究的实际经验阐明了数学发现法——合情推理的重要性。（薛迪群在《乔治.波利亚数学哲学思想浅探》）；他还一直强调自己用的方法是探索性的，启发性的，他将教师和学生之间的教学关系比喻为推销员和顾客的关系，有时顾客不买推销员的东西，我们不该责怪顾客，从原则上讲顾客总是对的，有时候，从实际上讲，顾客也是对的。所以你不能把东西硬塞给顾客，而要引导顾客去买你的东西。虽然这种启发法的思想在孔子时代以及苏格拉底时代就已提出，但是他成功地复兴了“现代启发法”（正如他自己在《怎样解题》第一版印刷序中提到的那样“虽然它已经不再那么流行了，但是它有过一段很长的历史，而且也许还会有其将来。”）而且波利亚对于启发法的研究是现代数学问题解决研究的先驱，美国问题解决的早期研究主要集中在对启发法的明确阐述和进一步发挥上，萧恩菲尔德的《数学问题解决》就是在波利亚的基础上进一步研究得来的，可以说没有波利亚就没有现代数学问题解决。

波利亚的在数学教育领域的贡献主要集中在解题思想、归纳思想、教师培训思想和学教思想上。

第一、可以毫不夸张的说，波利亚在数学解题研究方面独树一帜，他开创了一个时代。他的解题思想主要体现在其《怎样解题》一书中，为何波利亚会产生这样的想法，他在该书的第一次印刷序中提到：在他还处于学生时代时，他在听课、看书以及试图领会所给出的解答和事实时，总有一个问题困惑着他“是的，这个解答看来是行的，它似乎是正确的，但怎样才能想到这样一个解答呢？”，后来他在《数学的发现》一书中提到过这种感觉“这种解法太突如其来了，不晓得是从哪里蹦出来的，简直就像从一只帽子里蹦出一只兔子一样”，除了他自身困惑之外，还有一个重要原因就是美国当时的数学教师培训水平令人堪忧。（我想进一步的解题思想研究，可以参考）

第二、数学一直以来被人认为是建立在公理和定理上的演绎科学，而波利亚则认为数学具有二重性：它既是一门欧几里得式的严谨的演绎科学，但在创造过程中又是一门实验性的归纳科学。因此，他很注重培养学生的猜想能力。在《数学与合情推理》一书中他具体回答了这样两个问题：其一，怎样使得归纳更可靠？其二，是否存在一定的归纳法则？根据第一个问题，他提出了“基本归纳模式”，这不仅具有独创性，更具有启发性。（可以进一步阅读《数学与合情推理》）

第三、这样的一个现实困境似乎一直存在：教师培训过程中理论和实践的脱节。准教师们在学校学的似乎只要走出校门就变得折价，而实践中的问题又从不会进入高校课堂。在波利亚看来，教师培训的一个重大缺陷就是：我们希望我们的教师能够培养学生的某些品质，而这些品质教师自身都没有，他又如何能培养出这样的学生了？所有的人无一例外的都希望学生拥有一些美好的品质，但却没人对数学教师提出这样的品质要求，这难道不奇怪吗？波利亚认为，要改善教师培训水平，要回答两个问题，而这两个问题又是密切相关的：其一，学院应当给未来的教师提供什么样的课程？其二，中学应当给他们的学生教些什么？对于后者的回答是无法统一的，但在波利亚看来，至少可以统一一点：任何学问都包括知识和能力两方面。而实践告诉我们，数学里，能力比起单单具有一些知识来，要重要的多。因此，我们应该在授予一定数量知识的同时，还应教会他们一定的解决问题的能力。那么对于教师培训就得涉及两类课程——“业务”课程和“方法”课程。首先，业务知识方面，在波利亚看来，当时一般水平的高中数学教师不仅没有积极主动的数学工作的经验，甚至没有实际掌握他要去教的那些高中教材。其次，方法知识方面，波利亚根据自己工作经验发现，许多教师对此情绪并不高，当时有一个对教师的这种普遍情绪的形象说法：数学系给我们的是啃不动的硬牛排，而教育学院给的则是一碗没有肉的白水汤。因此，波利亚就提出了这样一个问题“教学是可以教的吗？”而事实上，他自己已经回答了这个问题，他认为方法课程是有益的。另外，波利亚当年写成他的经典著作的一个直接动机就是想改善当时美国中学教师的培训，从而提高中学的数学教学水平，对于今天的我们而言，波利亚当时面对的问题依然存在，应试教育的顽固和大学教育质量的问题，或许使得问题更加严峻，希望波利亚的数学教育思想有助于改善目前数学教学和学习的现状。（《数学的发现》一书中有更详细的记录）

第四、人们一直认为教学既是一门科学，也是一门艺术。在波利亚看来，教学不是科学，而是艺术。他说“假如教学这件事可以完全被科学的事实和理论所规定，那我也就不必谈论它们徒费你的时间了。”他认为教学和唱戏、音乐以及诗歌都有共同之处。他认为唱戏的主要艺术格式是“表演”。（教学也需要表演，假如你在某个班要讲一个很熟的证明，而过去的许多年之中，你已在同一课程中讲过许多遍了，你对此已经没有多大兴趣，但请不要在课堂上表现出来，假如你表现出厌烦，那么整个课堂也会如此。开始证明的时候，你要摆出兴奋的样子；证明进行的过程中，要装出有许多点子；证明结束时，还要表现出惊奇和得意。你多少应当做些表演，因为有时候你的学生也许从你的举止中比你所讲的主题中学到的更多。）而音乐的主要艺术格式是“变奏曲调”和“回旋曲”。（变奏曲调的艺术格式应用到教学中就是：开始时用最简单的形式讲你的东西，然后略加变化的重复它，然后又增加一点新的色彩再次重复它，最终在你结束时，又可以回到原来简单的形式上。而回旋曲格式的应用则是：你把同一句最重要的话不加改变或很少改变地重复几次，然后在两次重复之间加入若干适当对照的叙述材料）（参见《数学的发现》一书）

波利亚的思想是具有时代启发性的。他使我们认识到：我们的数学课程体系和教材内容一般沿知识的纵向展开，采用“定义—定理法则—证明—应用”的纯形式模式，突出高度完善的知识体系，而对知识的发明（发现）的过程则采用“浓缩”的形式，或几乎略去，缺乏必要的提炼、总结和再现。这和教学法是颠倒的，束缚了学生的数学直觉和数学想象。

但任何一种思想都不是万能的，既有积极之处，也有不足之处，我们在认真学习研究波利亚思想的同时，也要关注时代的发展，积极改进，发挥思想的最大优势。康武在《波利亚数学教育思想述评》一文中指出：波利亚解题的四阶段模式，作为启发式过程的基本框架，是能够成功地促进问题解决的，但是他忽视了元认知过程，至少元认知过程在波利亚的解题模式中表现不明显。也就是说有时我们知道一件事情应该怎么做，也知道如何做的效果最好，但并不代表我们能够那样做，如果我们不能很好地采取一些诸如调节、监控自己认知的策略，我们很难做到自己应该做的那样。若我们仅仅是知道解题的四阶段模型，而无法在解题过程中按照这样的四个阶段思考，那么我们还是没有很好地解决问题。

其次，认知科学表明，人们头脑中的知识是以组块的形式呈现的，而不是以单个的内容，而我们若按照波利亚的方法进行，更多强调的是单个的知识内容，这样长久以往是不利的（你若去看看解题表，将会更明白）

另外，波利亚认为解题是人类最富有特征性的活动，他认为数学的才智就体现在解题上。这容易使人误会。因此有人拿此说法作为“题海训练”的理论基础，认为数学学习就是学习如何解题，并尽量用不同方法解题，有人对方法多样化的追求远远超过了方法优化的追求，有点本末倒置。这里一定要明确这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题。波利亚在《怎样解题》第一次印刷序中也明确指出“如果一位数学教师把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失他的良机。”

反思：本文对于波利亚的数学教育思想仅处于简单介绍程度，没有个个深入探讨，有兴趣的读者可以继续阅读相关书籍。

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